Michel Sauval - Psicoanalista Jacques Lacan, Seminario "La angustia", Lectura y comentarios de Michel Sauval

Notas y comentarios
Sesión del 9 de enero de 1963

Cross-cap y objeto a

En el final de esta sesión, Lacan une el gesto a la palabra y la escritura, en su invención del objeto (ver notas y comentarios), realizando el corte que le permite aislar desde el cross-cap el objeto a: "Esta parte residual, aquí está. La he construido para ustedes, la hago circular. Tiene su pequeño interés, porque, permítanme que se lo diga, esto es el a. Se lo doy como una hostia, porque luego se servirán de él. El a minúscula está hecho así" (1)

Superficies topológicas

Lacan retoma las "consideraciones topológicas concernientes a la función de la identificación en el plano del deseo" (2) que desarrolló durante el seminario anterior.
Recordemos que la primera referencia esencial en la noción de superficie es la de cara: una superficie tendrá dos caras cuando esté inmersa en el espacio. Y una cara se define como un campo donde podemos extender una línea sin tener que encontrar un borde. Las superficies sin borde que Lacan retomará son el plano al infinito, la esfera, el toro y algunas otras que, como superficies sin borde pueden reducirse, prácticamente, a una sola, el cross-cap. La importancia de estas superficies topológicas se expresa en esta pregunta que plantea Lacan: "¿Acaso un significante, en su esencia más radical, no podría encararse sino como corte de una superficie?" (3)

Hasta ahora, el significante, en su encarnación corporal, es decir vocal, se ha presentado siempre como discontinuo. Esta dimensión temporal de la cadena significante en su interrupción modulatoria implica también la escansión de otro elemento, introduce la prisa, en tanto prisa lógica.
El paso que intenta dar Lacan ahora es “aquel en que se anuda la discontinuidad con lo que es la esencia del significante, a saber, la diferencia”, y esa diferencia “está en el corte, o en la posibilidad sincrónica que constituye la diferencia significante”. En todo caso, “lo que se repite como significante solo es diferente de poder estar inscripto” (4). La función del corte importa en lo que puede ser escrito, ya que "es aquí que la noción de superficie topológica debe ser introducida en nuestro funcionamiento mental, solo es ahí que toma su interés la función del corte" (5).

Las superficies topológicas son estructuras: “el significante es corte” y “el sujeto tiene la estructura de la superficie, al menos topológicamente” (6).
No es la superficie la que permite el corte sino el corte el que engendra la superficie. Y es ahí que podríamos captar “el punto de entrada, de inserción del significante en lo real”, que “es porque lo real nos presenta superficies naturales que el significante puede entrar” (7).

Si la línea es corte, cada uno de sus elementos será sección de corte. La sección de corte, es decir, el significante, siendo siempre diferente de él mismo, no hay manera de hacer aparecer lo mismo, sino del lado de lo real. El corte no puede saber que se cerró, que vuelve a pasar por el mismo punto, sino porque lo real en tanto que distinto del significante, es el mismo. En otros términos, solo lo real cierra el corte, siempre y cuando el corte se repita.
El significante, para engendrar la diferencia de lo que significa originalmente, exige que, “para acabar su forma significante, se repita al menos una vez”, y “esa repetición no es otra cosa que la forma más radical de la experiencia de la demanda” (8)
No es en vano que la demanda se repite, pues si no, no habría significante.
En ningún lugar del grafo se juntan D y a. Lo que hay, en cambio, es $<>D. Esos elementos significantes del piso de la enunciación son lo que se llama Trieb, la pulsión. “La primera modificación del real en sujeto bajo el efecto de la demanda, es la pulsión” (2) (sesión del 30/5/62)(318). “Para que la demanda sea demanda, es decir, que se repita como significante, es necesario que sea decepcionada” (9). El vacío de esa decepción es diferente de lo que se trata en cuanto a a, el objeto del deseo. Y esta diferencia es la que atrapa el 8 interior que Lacan introduce (10) para dar cuenta del corte que anuda, en su doble vuelta, el vacío del toro y su agujero central
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“Es a partir del corte que se organizan las formas de la superficie de la que se trata” (11). Por ejemplo, dos agujeros en una esfera nos terminan dando un toro cortado transversalmente.
Pero si unimos (de cierto modo) los puntos antipódicos del borde de un agujero en una esfera, obtenemos una a-esfera.

Cross-cap y plano proyectivo

El cross-cap es una parte de la a-esfera, que es una inmersión en el espacio tridimensional del plano proyectivo (que tiene cuatro dimensiones).
Podemos imaginar el “plano proyectivo” como una superficie (no necesariamente plana) sobre la que se proyectan todos los rayos que pasan por un foco puntual.
Dicho de otro modo, podriamos ordenar su construcción en función de la siguiente pregunta: ¿cómo representar todo el espacio sobre una superficie?

Si voy trazando todas las rectas que pasan por un punto, puedo considerar el espacio como ese haz infinito. De ese modo tengo representado el espacio en tres dimensiones.
Para transportarlo a dos dimensiones debo proyectarlo sobre una superficie. Para eso corto cada una de las rectas en un punto sobre una esfera que incluya en su centro el punto de cruce inicial de todas las rectas.
De ese modo proyecto todo el espacio sobre la superficie de la esfera (como cuando construyo un globo terráqueo, por ejemplo).

Haz infinito de rectas que pasan por un punto
Proyección del haz infinito de rectas sobre la superficie de la esfera
Proyección (pliegue) de una mitad de la esfera sobre la otra

Pero con esta construcción, a cada recta que pasa por el punto de cruce inicial le corresponden dos puntos opuestos sobre la superficie de la esfera. Y lo que quiero lograr es una proyección sobre un plano, es decir, que a cada recta le corresponda un solo punto.
Para eso, ahora pliego la esfera por su ecuador hundiendo una mitad hasta superponerla con la otra mitad. De ese modo puedo juntar cada par de puntos de cada recta en un solo punto, sobre una sola superficie (en una especie de semiesfera), salvo en el ecuador, donde sigo teniendo dos puntos por cada recta. El paso clave, ahora, es cómo unir los puntos opuestos de esa circunferencia (ecuador de la esfera) de modo que permita el entrecruzamiento de la superficie y la construcción del crosscap sobre esa semiesfera...

Esa construcción no es tan facil de imaginar, por eso propongo seguir los pasos en este video:
https://www.youtube.com/watch?v=jrFOZHW2Dbc

La construcción de este video también nos permite imaginar esa construcción de la a-esfera sin seguir todos los pasos del plano proyectivo, pensando ese borde que resultó del pliegue de una mitad de la esfera sobre la otra, como un simple agujero sobre la esfera. En ambos casos tenemos la situación que ilustra el video que consiste en cómo unir los puntos antipódicos del borde de ese agujero. De hecho, ese conjunto de puntos que conforman el borde de ese agujero, solo pueden funcionar como antipódicos si hay dos puntos privilegiados que se unifican en un punto doble (señalado con flecha y punto en la siguiente imagen tomada del video anterior).

La unión de esos puntos antipódicos (verde con verde, blanco con blanco, violeta con violeta, etc.) nos da una especie de "costura" de ese agujero inicial en la esfera, donde esta nueva superficie resultante sostiene, no el agujero, pero si “el lugar del agujero” (12).
Ese 8 interior implica las dos vueltas en torno al punto doble. Se trata de un solo corte que al pasar dos veces por el punto privilegiado divide la semiesfera inferior de la mitra superior, es decir, es un corte que divide la superficie (a diferencia del toro, donde haciendo el 8 interior lo único que conseguimos es extender esa superficie). El corte divide la superficie siempre en dos partes, una de las cuales conserva el punto del que se trata en su interior, y la otra no lo tiene más. Esa otra parte (…) es una superficie de Moebius. El doble corte divide siempre la superficie llamado cross-cap en dos: de un lado "eso en lo que nos interesamos y que hace el soporte de la explicación de la relación de $ con a en el fantasma, y del otro, una superficie de Moebius" (13).

El borde es lo esencial en la banda de Moebius. La banda de Moebius tiene un borde, solo uno; está construida sobre un agujero. Y para que la a-esfera funcione con todas sus propiedades completas, y particularmente la de ser unilateral como la banda de Moebius, es necesario que en la construcción de ese aparato haya en alguna parte, tan reducido como quieran suponerlo, ese especie de fondo que está representado aquí (b).

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El cross cap no puede dibujarse pura y simplemente como algo que estaría dividido en dos por una línea donde se entrecruzarían las dos superficies (a). Debe quedar aquí (b) algo que, más allá del punto, lo envuelva, algo como una circunferencia, tan reducida como sea, una superficie que permita comunicar los dos lóbulos superiores de la superficie así estructurada (14).
Esa división tiene, por un lado, una superficie de Moebius, es decir, una superficie unilateral. Por el otro, una pieza central aislada por el doble corte, que es la que se lleva la verdadera estructura de todo el aparato llamado cross-cap: es una superficie que se atraviesa a ella misma según una cierta línea que se interrumpe en el punto privilegiado. Es esa línea, y sobre todo ese punto, que dan a la forma de doble vuelta de este corte su significado privilegiado desde el punto de vista esquemático de lo que es la relación “$ corte de a” (15)

Ese punto privilegiado, alrededor del cual está soportada la posibilidad misma de esta estructura entrecruzada del cross-cap, “es por él que simbolizamos lo que puede introducir un objeto a cualquiera (un objet a quelconque) en el lugar del agujero. Ese punto privilegiado (…) es el falo, en tanto es por él, como operador, que un objeto a puede ser puesto en el lugar mismo donde no captamos de otra estructura (por ejemplo, el toro) más que su contorno” (16).
Ese es el valor ejemplar de la estructura del cross-cap..

Este objeto, que resulta del corte, “es el único objeto absolutamente autónomo, primordial en relación al sujeto”, decisivo respecto a él, a tal punto que mi relación a ese objeto debe, en cierto modo invertirse: “Todo corte del sujeto, que en el mundo lo constituye como separado, como rechazado, le es impuesto por una determinación ya no subjetiva – que iría del sujeto hacia el objeto – sino objetivadel objeto hacia el sujeto - le es impuesta por el objeto a, pero en tanto en el corazón de ese objeto a hay ese punto central, ese punto torbellino por donde el objeto sale de un más allá del nudo imaginario, idealista sujeto-objeto que ha hecho que hasta ahora, y desde siempre, el impasse del pensamiento, ese punto central que, de este más allá, propiamente el objeto como objeto del deseo” (subrayado mio) (17).

Cross-cap y esquema óptico

El cross-cap será la vía para precisar la distinción entre el objeto a y "el objeto construido a partir de la relación especular" (18) .
En esta última, lo que diferencia la imagen de lo que representa es que la derecha se convierte en la izquierda, y viceversa. En términos topológicos de superficie, la imagen especular "es exactamente el paso del guante derecho al guante izquierdo, lo que en una superficie puede conseguirse dando vuelta el guante" (19).

La banda de Moebius, en cambio, es una superficie de una sola cara, a la que, por lo tanto, no se le puede dar vuelta: "si lo hacen, siempre será idéntica a si misma. Es lo que yo llamo no tener una imagen especular" (20)
Como vimos, esta banda se obtiene a partir del cross-cap, "cuando aislas una parte mediante una sección, un corte, sin otra condición más que la de cerrarse sobre si tras incluir el punto agujereado de la superficie" (21).
Y el objeto a está construido como esa parte residual (cuya construcción en cartón Lacan hace circular entre su público, "como una hostia")

La ilusión imaginaria es la de ver en tres dimensiones. Pero en la retina solo se captura la superficie de nuestra visión. En la retina se proyecta, invertida, la superficie con la proyección de lo que estariamos viendo afuera

Veamos el montaje que intenta hacer Lacan de su esquema óptico con el cross-cap.
De un lado tenemos el florero, del otro su imagen "que es el ideal, constitutivo de todo el mundo del objeto común"(22)

Si ahora agregamos sobre el florero un cross-cap al que le hemos extraído el disco del corte, lo que nos deja una banda de Moebius, "entonces todo el florero se convierte en una banda de Moebius", y "la imagen especular se convierte en la imagen extraña e invasora del doble" (23), como le ocurre a Maupassant cuando empieza a no verse en el espejo, según ejemplifica Lacan (24)

La particularidad del agujero que ahora tiene este florero es que, aún teniendo un solo borde, "tiene el aspecto de tener dos" (como lo indicaba en el gráfico de la página 108 de Paidos), lo que nos llevará a algunos fenómenos de doble

Como se habrá apreciado, cuando Lacan junta el florero, que sería equivalente a un pote, a una semiesfera, con el cross-cap, construye lo que él mismo ha llamado a veces una a-esfera.

El cross-cap, a diferencia de la esfera, no separa el espacio entre un exterior y un interior. Sus dos caras están en continuidad.
Pero a diferencia de la banda de Moebius, es una superficie sin borde.
Cuando realizamos el corte del 8 interior, la banda de Moebius es el sujeto revelado por el corte, y el disco residual del corte es el resto no moebiano escondido en el cross-cap, el objeto a.
La banda de Moebius no es un dato de partida, sino el efecto de cierto corte del plano proyectivo.

Por eso Lacan formulaba, en sus desarrollos del seminario 9 sobre la identificación, que el cross-cap da la fórmula del fantasma:

$ <> a

Cross-cap + Banda de Moebius + objeto a

El cross-cap es una superficie heterogénea, la unión de un disco y una banda de Moebius, siendo el disco una superficie orientable, y la banda de Moebius una no orientable.

He aquí algunos videos de Youtube que podrían imaginarizar estas operaciones:

Notas

(1) Jacques Lacan, El Seminario, Libro X, La angustia, Editorial Paidos, página 111

(2) Idem, página 108

(3) Jacques Lacan, Seminario "La identificación" (inédito). "L'identification" , edición Staferla.
Sesión del 16 de mayo 1962. Traducción propia

(4) Idem

(5) Idem

(6) Jacques Lacan, Seminario "La identificación" (inédito). "L'identification" , edición Staferla.
Sesión del 30 de mayo 1962. Traducción propia

(7) Idem

(8) Idem

(9) Idem

(10) Jacques Lacan introduce por primera vez su 8 interior en la sesión del 16 de abril de 1962 del Seminario "La identificación" (inédito). "L'identification" , edición Staferla.

(11) Jacques Lacan, Seminario "La identificación" (inédito). "L'identification" , edición Staferla.
Sesión del 23 de mayo 1962. Traducción propia

(12) Idem

(13) Jacques Lacan, Seminario "La identificación" (inédito). "L'identification" , edición Staferla.
Sesión del 13 de junio1962. Traducción propia

(14) Idem

(15) Idem

(16) Jacques Lacan, Seminario "La identificación" (inédito). "L'identification" , edición Staferla.
Sesión del 23 de mayo 1962. Traducción propia

(17) Idem

(18) Jacques Lacan, El Seminario, Libro X, La angustia, Editorial Paidos, página 108

(19) Idem

(20) Idem

(21) Idem

(22) Idem, página 109

(23) Idem, página 111

(24) Guy de Maupassant, "El Horla".
Lacan lo retomará más adelante, en la sesión del 23 de enero (ver notas y comentarios)

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