Sesión del 19 de enero 1972
"De la necesidad a la inexistencia"

Notas de lectura y comentarios
La ubicación de las citas es indicada con número de página de la edición Paidós

1 - Significante de la inexistencia

Retomo la pregunta que hizo Ariel la vez pasada respecto al “concepto vacío”.
Respondí que me parecía que en esa expresión había una mezcla. Al respecto, lo primero a señalar es que esa mezcla no la hacía Ariel, sino el propio Lacan, puesto Ariel se refería, muy acertadamente al último párrafo de la página 55, donde leemos “así es como Frege regresa hasta la concepción del concepto vacío que no entraña objeto alguno y que es el concepto, no de la nada – ya que es concepto, sino de lo inexistente” (negritas mías) (55).
¿A qué tipo de mezcla me refiero?, una mezcla de lógica de Frege y teoría de conjuntos.
No es mi intención jugar como un Sokal o un Martínez, para ponerme a señalar las eventuales incorreciones o imprecisiones de Lacan en sus referencias a Frege, marcando donde se “equivoca”, etc. Está claro que no es un curso de lógica matemática lo que Lacan está desarrollando, y su lectura de Frege podría emparentarse con la hizo de Saussure en su momento, o respecto de otras referencias de matemática, lógica, lingüística, filosofía, etc., donde la precisión no va por el lado de la exactitud y la adecuación sino por la "verdad" de los problemas pertinentes a sus propias conceptualizaciones.
Justamente, lo que nos interesa en la cuestión del número 0 de Frege es el estatuto de la inexistencia, el “concepto de lo inexistente”, que en la secuencia de este párrafo de la página 55 es precedido por la expresión “concepto vacío”. Es decir, en ese párrafo se plantea una equivalencia entre “concepto vacío” y “concepto de lo inexistente”, de donde resulta una equivalencia entre “vacío” e “inexistente”. El punto es que, si a esa equivalencia la elevamos al estatuto de una igualdad, no se ve muy bien qué aportaría todo este desarrollo de la necesidad a la inexistencia. Creo que puede ser propicio no dejarnos arrastrar a la igualdad y tratar de precisar la distancia de esa eventual equivalencia. A eso me refería con lo de una “mezcla”.

En ese párrafo, el “concepto vacío” refiere al concepto con el que Frege define el 0, en tanto es un concepto bajo el que no cae ningún objeto. Es el caso del concepto “diferente consigo mismo”, para el que no hay objeto que pueda saturarlo.
Pero hay diferencias entre pensar que el concepto está “vacío” o que no hay objetos que lo saturen. El término “vacío” es propio de la teoría de conjuntos. Pero la noción de concepto en Frege no es la de un conjunto. La lógica de Frege no es una teoría de conjuntos
No obstante, cuando la paradoja de Russell cae sobre su lógica, marca el punto en que esta se mezcla, se anuda con la teoría de conjuntos, y no sin pertinencia, puesto que el propio Frege reconoce en ella el punto en que su famosa "ley básica V" entra en contradicciones.

La paradoja de Russell se plantea como una contradicción en los desarrollos de la lógica, que se expresa más claramente en términos de conjuntos, ya que se formula principalmente como relaciones entre clase y elemento. Pero este tipo de contradicción, o de “falla”, la podemos asociar, o encontrar formulada de otros modos en otros desarrollos o planteos. Lo que hace Russell es encontrar el punto en los desarrollos que le ofrece Frege. Pero si reducimos la lógica de Frege a los solos términos de esa paradoja, entonces también la estamos reduciendo a teoría de conjuntos. Y si perdemos la diferencia entre la noción de concepto en Frege y de conjunto, entonces, creo que perderemos de vista lo que Lacan encuentra en Frege para dar cuenta de la inexistencia y del significante de la inexistencia, es decir, del tratamiento que está desarrollando respecto de la cuestión del Uno.

Podríamos retomar el análisis de esta cuestión a partir de las confusiones que surgen del lenguaje común cuando decimos “concepto”, donde por las afinidades con la gramática, se nos cuela rápidamente la lógica clásica de un sujeto del que se predican propiedades. Ese concepto genérico parece condensar dos aspectos contradictorios: por un lado, hacer un “todo” de un conjunto de individuos, y por el otro lado, distinguir esos individuos como “unidades”. Como señala Kant, el concepto “es una representación de lo que es común a varios objetos, por lo tanto, es una representación en tanto ella puede ser contenida en diferentes objetos” (1). Los límites de esa “contención” de las propiedades en envases “separados” marcan su individuación y la posibilidad de contarlos, cada uno como diferente de los demás...
Para enumerar los objetos hay que considerarlos a la vez como idénticos y diferentes. Como idénticos, en tanto que unidades equivalentes para que puedan formar un número por su reunión, y como diferentes para que podamos distinguirlos los unos de los otros y poder decir que son varios. Esto implica poder anular todas sus propiedades, tanto las compartidas como las no compartidas, con otros objetos, limitándonos a la “propiedad” de ser “unos”.

2 - Concepto y objeto

¿Cuál es la noción de concepto y objeto de Frege?
En lugar de obtener un juicio uniendo un individuo como sujeto con un concepto ya formado como predicado, procede a la inversa descomponiendo el contenido juzgable para obtener el concepto. El juicio, en vez de ser la predicación de un sujeto, es una proposición, de la que el sujeto se extrae como variable, y la predicación funciona como constante, como lo representa con la grafía que Lacan reproduce en la primera sesión del seminario (página 14), tomada de la “Conceptografía”.

El “sujeto” pasa a ser un "objeto" que puede ocupar el lugar vacío de una proposición.
En ese sentido, hay un malentendido en juego con el término concepto, que alimenta confusiones.
Tendríamos dos momentos o situaciones que responden al mismo término: la situación en que el concepto es la función no saturada, es decir, la parte constante de la proposición, que todavía no se termina de constituir como juicio, ya que le falta su objeto; y la situación en que un objeto (argumento) cae en el lugar de la variable y satura la proposición, constituyendo el concepto en un juicio.
El malentendido resulta del uso del mismo término “concepto” para los dos momentos o realización: insaturado y saturado.
Podemos decir el concepto “es capital de Argentina”, pero ese concepto no es un juicio aún ya que falta el argumento. Cuando agrego el nombre de un objeto (para el caso, de una ciudad), en el lugar de la variable, entonces se completa la proposición (y por lo tanto el juicio), por ejemplo, “Córdoba es la capital de Argentina”, o “Buenos Aires es la capital de Argentina”, con las dos posibilidades de saturación de la proposición: como falsa o como verdadera.

Como ven, esta operación es diferente a decir “Buenos Aires es ….” y empezar a agregar propiedades, entre las cuales podría estar la de capital de la Argentina, junto ciudad autónoma, o ciudad con la avenida más ancha, etc., etc.
Con el ejemplo de un nombre propio como Buenos Aires, la lógica predicativa simula un tanto sus ambigüedades porque son las propiedades de un individuo único. Los problemas se evidencian un poco más si en el lugar de un nombre propio usamos un nombre común, por ejemplo “una ciudad es…”, y ahí se van a encontrar con las discusiones que pueden surgir sobre si Tandil, o Venado Tuerto, son o una ciudad o un pueblo, es decir, los problemas de la relación entre el universal y los particulares.

En la lógica de Frege, el concepto no define un conjunto de elementos.
Un concepto es la parte constante de una proposición, que recién se completa cuando un objeto la satura en su valor de verdad o falsedad. La ley del tercero excluido no sería más que otra forma de expresar la exigencia de que un concepto esté estrictamente delimitado.
Que un objeto caiga bajo un concepto solo quiere decir que cuando su nombre es colocado en el lugar vacío del término conceptual correspondiente, la proposición obtenida es verdadera o falsa.
El concepto no expresa lo que tendrían de "común" los objetos que subsume. Los objetos que caen bajo un concepto no entretienen entre ellos ninguna relación ni constituyen un conjunto. El concepto no está formado por abstracción a partir de los objetos que supuestamente caerían debajo de él. El “medio natural” del concepto es la proposición y no el o los objetos que eventualmente caen bajo él.

Frege sustituye a la relación vertical de los objetos al concepto bajo el que caen, objetos todos diferentes en virtud de sus particularidades propias que no son borradas por su relación con el concepto. Con un concepto son dados, al menos idealmente, los objetos cuya inserción de su nombre en el lugar vacío del término conceptual resultará en una proposición verdadera. Es el concepto, en tanto bien definido, el que permite determinar qué objetos caen bajo él y, en consecuencia, su número.

3 - Extensión y número

En Frege, los números surgen a partir de conceptos de segundo orden, es decir, propiedades aplicables a otros conceptos de orden inferior. Ese es justamente el sentido de lo que se llama “extensión”.
Como vimos la vez pasada leyendo “Los fundamentos de la aritmética”, el número surge a partir del establecimiento de una relación entre conceptos. Para entender mejor el sentido de esa relación quizás sirva retomar el ejemplo de las rectas paralelas que toma el propio Frege de la geometría. Cuando dos rectas son paralelas decimos que tienen la misma dirección. La “dirección” de las rectas pasa a ser una relación de equivalencia entre las rectas. Funciona como el signo igual en una ecuación entre dos términos, en este caso entre dos rectas. Podremos decir “la dirección de A es igual a la dirección de B”. Pero aquí todavía faltaría definir qué es una “dirección”.

Veamos la noción de extensión.
Un concepto tiene como “extensión” los objetos que caen bajo dicho concepto. Por ejemplo, el concepto F(x) “x es una capital de provincia argentina” tiene la "extensión" ƐF (“Córdoba”, “Salta”, “La Plata”, …). La extensión del concepto (ƐF) no es ni el número 24 (cantidad de provincias argentinas) ni una cantidad, sino el listado de objetos (para el caso ciudades) que al incluirse en el lugar de la variable saturan la función con un valor de verdad. En ese sentido, un concepto determina siempre una extensión.
Volvamos entonces a nuestras paralelas. Si la recta A es paralela a la recta B, entonces la extensión del concepto “recta paralela a la recta A” es igual a la extensión del concepto “recta paralela a la recta B” y recíprocamente. Podemos entonces definir la “dirección” de la recta A como la extensión del concepto “paralelo a la recta A”.

Si en lugar de rectas ponemos conceptos, y en lugar de paralelismo (como relación entre las rectas) ponemos la posibilidad de una aplicación biyectiva entre los objetos que caen bajo un concepto y los que caen bajo el otro, podremos decir que el concepto F es equinumérico al concepto G si existe esa antedicha posibilidad.
La relación de equinumerosidad funciona como el paralelismo de las rectas, y la extensión de un concepto funciona como la “dirección” (es decir, la extensión del concepto “paralelo a la recta A”)
Entonces, tal como vimos con el ejemplo de “dirección” para las rectas, y con la definición de la extensión, afirmar que dos extensiones F y G son iguales equivale a afirmar que los objetos que caen bajo un concepto son los mismo que caen bajo el otro. Y esto vale también para aquellos conceptos bajo los cuales no cae ningún objeto.
Esta es la famosa "ley básica V" de Frege.

Ahora podemos definir un número como la extensión de un concepto que se ajusta a la forma general “ser un concepto equinumérico a…”. Si F y G son dos conceptos equinuméricos, entonces la extensión de los conceptos (de segundo orden) “x es un concepto equinumérico a F” y “x es un concepto equinumérico a G” será la misma. Todo número es una extensión que “agrupa” (en el sentido de que es la misma) a conceptos que son equinuméricos entre sí.
El número es la extensión de un concepto de conceptos.

4 - Número 0 y mecanismo de repetición

Repasemos entonces la definición de los números 0 y 1.
El número 0 se define por medio de un concepto F que enuncia la equinumerosidad entre conceptos bajo los cuales no cae ningún elemento.
Como vimos la vez pasada, puede haber muchos diferentes conceptos bajo los cuales no caiga ningún objeto, pero Frege propone los conceptos de la forma “desigual consigo mismo”, entendiendo por igual la definición de Leibniz (salva veritae). Bajo un concepto así no cae ningún objeto porque ningún objeto puede dar valor de verdad a esa función, ya que tendrían que ser elementos contradictorios (x desigual de x). El campo de la lógica está construido en términos de verdad y falsedad, es decir, en base a un principio elemental que es que “un concepto no puede ser diferente de sí mismo”. No existe ningún objeto que caiga bajo ese concepto. El lugar vacío de la función “desigual consigo mismo” da cuenta de una inexistencia.

La extensión del concepto “desigual consigo mismo” es nula, no hay objeto. Y obviamente, cualquier otro concepto bajo el cual no caiga ningún objeto es equinumérico a este concepto “desigual consigo mismo”.
Según la ley básica V, todos los conceptos equinuméricos a un concepto comparten una misma y única extensión. La extensión de uno y otro es la misma.
0 es el número que corresponde al concepto “desigual consigo mismo”.

El número 1 se obtiene a partir de un nuevo concepto: “x es equinumérico al concepto desigual consigo mismo”. Para simplificar la expresión podríamos decir “x es equinumérico al concepto igual a 0”.
¿Qué objetos caen bajo ese concepto? ¿Cuál es la extensión de ese concepto?
El objeto que cae bajo ese concepto es la extensión del concepto “desigual consigo mismo” (o del concepto “igual a 0”), que es la misma que la de los conceptos bajo los cuales no cae ningún objeto (ley V). Esa extensión pasa a ser un objeto que satisface al concepto “x es equinumérico al concepto desigual consigo mismo”.

Si utilizamos la letra Ɛ para designar la extensión, para el concepto “desigual consigo mismo” podríamos escribir Ɛ(x ≠ x) = 0.
Y para el concepto “equinumérico a desigual consigo mismo” podríamos escribir Ɛ(x=0)=1
Como señalaba la vez pasada, el 1 es el número del concepto “igual a 0” que solo tiene por objeto la inexistencia, que Lacan traduce de la siguiente manera: “el concepto al que conviene el número 0 es igual a 0 pero no idéntico a 0”, y “el que es idéntico a 0 es considerado su sucesor, y como tal igualado a 1” (56).

Lo que Frege inventa, o genera, es un mecanismo. Porque el paso siguiente es plantear “un concepto idéntico al número 1”.
¿Cuántos objetos subsume ese concepto? Subsume el objeto 0 y el objeto 1.
Entonces le asignamos el número 2. Y así se conforman luego el 3, y el 4, etc.
Es decir, siempre el último número de la serie, más 1, que es el 0, la inexistencia, que se repite.

Lacan advierte el pase mágico entre los conceptos de primer orden y de segundo orden, con el que Frege busca fundar el 1, y lo rescata en la medida en que nos da ese 1 como lo que esencialmente es: “el significante de la inexistencia” (56).

5 - El triángulo de Pascal y la repetición

Para Lacan, lo que Frege explica no es tanto la serie de los números enteros como la posibilidad de la repetición: “la repetición se plantea ante todo como repetición del 1 en calidad de 1 de la inexistencia” (59)

Para analizar la repetición del 1 de la inexistencia, Lacan utiliza, adaptándolo a sus propósitos, el triángulo llamado de Pascal.
Se trata de un especie de ábaco que reúne en una misma distribución una amplia gama de cuentas y operaciones aritméticas. Las primeras referencias se remontan al siglo XII en China, y se lo asocia con Pascal porque este fue quien escribió el primer tratado (2) sobre el mismo detallando un gran cantidad de esas operaciones. Lo más llamativo de este tratado es la aparición del razonamiento por recurrencia, que Pascal expone en un fragmento de unas veinte líneas, y que desde entonces se ha convertido en una de las herramientas de demostración más comunes de las matemáticas
En el siguiente video se encontrará una presentación bastante completa de la historia, la construcción y las propiedades del triángulo.
En particular, ese video tiene la virtud, a diferencia de casi todos los otros videos y textos que se pueden encontrar en internet, de señalar, en el proceso de construcción, la función del número 0 (ver en el minuto 1). Esta es una captura para ubicarnos

La representación que hay en las ediciones Seuil y Paidós es con el triángulo reclinado de modo que uno de sus lados quede horizontal.

Lo que hace Lacan es agregar, por sobre las diagonales de los 1 que limitan el triángulo, dos diagonales de 0, en una de las cuales hay un 1.
Sobre el esquema horizontalizado del triángulo tenemos, en la primera fila los 0 que agrega Lacan con un 1 en el vértice, en la segunda fila los 1 de las primeras diagonales del triángulo, en la tercera fila la segunda diagonal (con los números naturales), en la cuarta fila la tercera diagonal (con los números triangulares), y así sucesivamente

En rojo he marcado los límites habituales del triángulo de Pascal. Las líneas de 0 son las que agrega Lacan, con un 1 en una de ellas
Así se deduce el esquema que hay a comienzos de la página 57

Lacan señala que por todos lados ha “enmarcado de 0 este triángulo” (58), con el agregado de que “hay aquí un punto que debe situarse en el nivel de la línea de los 0, un punto que es 1” (58).
Y este 1 es el que va a funcionar como 1 de la repetición, de la inexistencia.

No hay “origen” de la serie de los números naturales.
En términos de teoría de conjuntos, el “más uno” viene de la “nada” como nombre del vacío del conjunto.
No hay objeto vacío. Pero si hay un objeto “conjunto vacío”, al que cuento 1. Y para la cuenta voy poniendo el conjunto vacío, más el conjunto vacío, más el conjunto del vacío, más el conjunto vacío, etc., sumando paréntesis que son la sucesión.
Es decir, si contamos a partir de 0 hasta 6 eso da 7, “7 de eso que denominé inexistente, por ser el fundamento de la repetición” (58).

No hay un único 1. Hay el 1 que se repite, y el 1 que se sitúa en la serie de los números enteros.
Los 1 que funcionan como cabeza de serie de las series del triángulo aritmético (tercera fila y sucesivas) no son los mismos que estos 1 de la repetición (segunda fila). Son 1 de serie, de cabeza de serie, no son 1 de repetición.
Los 1 de la segunda fila (que serían los de la primera diagonal del triángulo, antes del agregado que hace Lacan de la fila de 0), son los 1 de la repetición.

El 1 que se repite es el 1 de la inexistencia. Se repite porque en el origen no existe.
Frege distingue estos unos de la repetición como los “unos del sucesor”. Y esos unos de la repetición son los unos de la “inexistencia” para Lacan.

Respecto de las monadas, diadas y triadas, lo que Lacan toma por tales son ciertas configuraciones topológicas.
Las mónadas son puntos. Las diadas son líneas con dos extremos, motivo por el cual diremos que en la diada hay dos monadas. La tríada es un plano. Y la tétrada es un tetraedro, es decir, un combinación de 4 planos o tríadas, o 6 diadas o aristas del tetraedro, o los 4 vértices o mónadas del tetraedro.

Los números de cada fila son los subconjuntos que pueden formarse en un conjunto, variando el número de elementos, tanto del conjunto como de los subconjuntos.
El resultado (como bien señala Lacan en la página 58) es que rápidamente el número de subconjuntos posibles supera el número de elementos del conjunto.
La fila de la mónada es la de los números enteros, porque el subconjunto se hace tomando un elemento del conjunto. Por lo tanto, la cantidad de subconjuntos posibles va siguiendo los números enteros. Por eso es la fila de los números enteros
Con la diada, las posibilidades de armar subconjuntos de dos elementos a medida que la cantidad de elementos del conjunto crece sigue el orden de la tercera fila, o sea 0 para 1 elemento, 1 para 2 elementos,3 para 3 elementos, 6 para 4 elementos, etc.
Lo mismo con la triada: tendremos 0 para 1 y 2 elementos, 1 para 3 elementos, 6 para 4 elementos, 10 para 5 elementos, etc.
Y en el caso de la tétrada, tendremos 0 para hasta 3 elementos, 1 para 4 elementos, 5 para 5 elementos, 15 para 6 elementos, etc.

Retomaremos todo esto, más detalladamente, en la lectura de la sesión del 19 abril 1972 titulada "Haiuno" y en la charla en Sainte Anne del 4 de mayo 1972 titulada "Cuestión de Unos".

Notas

(1) Kant, “Tratado de lógica”

(2) Blaise Pascal, "Traité du triangle arithméttique"